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数学是高等智慧生物的共有思维，是对真理的探索，对矛盾的怀疑，但它绝非一门晦涩难懂的学问，非应试目的的数学是纯粹而朴实的智慧。《数学与生活》为日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。

本书既包含了初等数学的基础内容，又包含了微分、积分、微分方程、费马定理、欧拉公式等高等数学的内容。作者运用了多个学科的知识。结合日常生活和东西方各国脍炙人口的故事，用通俗易懂的语言，将数学知识和原理一一呈现，犹如一本有趣的故事集。读者从中不但了解了数学的风貌，而且也能懂得数学与日常生活的密切联系，及其与物理学、化学、天文地理乃至音乐、美术等学科的关联。

愿读者凭借此书发现数学的本原之美，发现美的本原源于数学。

第1章　数的幼年期　　1

1.1　从未开化到文明　　1

1.2　数的黎明　　2

1.3　一一对应　　4

1.4　分割而不变　　5

1.5　数的语言　　6

1.6　数词的发展　　7

1.7　手指计数器　　10

1.8　金字塔　　11

1.9　二十进制　　14

1.10　十二进制　　16

1.11　六十进制　　17

1.12　定位与0的祖先　　17

第2章　离散量和连续量　　19

2.1　多少个和多少　　19

2.2　用单位测量　　20

2.3　连续量的表示方法　　22

2.4　分数的意义　　25

2.5　折叠和扩展　　27

2.6　分数的比较　　29

2.7　分数的加法和减法　　30

2.8　乘法的扩大解释　　32

2.9　乘减少，除增大　　34

2.10　小数的意义　　37

2.11　分数和小数　　38

2.12　循环小数和分数　　41

2.13　非循环小数　　43

2.14　加减和乘除　　44

2.15　数学和现实世界　　47

第3章　数的反义词　　49

3.1　正和负　　49

3.2　新数的名称　　50

3.3　负的符号　　52

3.4　正和负的加法　　53

3.5　减法运算　　54

3.6　司汤达的疑问　　55

3.7　乘法运算规则　　56

3.8　与实际的联系　　58

3.9　有理数的域　　60

3.10　代数和61

第4章　代数——灵活的算数　　63

4.1　代名词的算术　　63

4.2　代数的文法?交换律　　65

4.3　结合律　　66

4.4　分配律　　68

4.5　方程　　70

4.6　代数的语源　　73

4.7　龟鹤算　　73

4.8　一次方程　　75

4.9　联立方程　　78

4.10　矩阵和向量　　80

4.11　矩阵的计算　　84

4.12　联立方程和矩阵　　88

4.13　奇妙的代数　　89

第5章　图形的科学　　94

5.1　两部长期畅销书　　94

5.2　分析的方法　　95

5.3　分析和综合　　96

5.4　连接　　98

5.5　全等三角形　　100

5.6　公理　　101

5.7　泰勒斯定理　　103

5.8　驴桥定理　　105

5.9　条件和结论　　107

5.10　对称性　　109

5.11　定理的联系　　112

5.12　三边全等定理　　114

5.13　捉老鼠的逻辑——反证法　　116

5.14　脊背重合　　117

5.15　垂直于平面的直线　　119

5.16　平行线　　120

5.17　三角形的内角　　123

5.18　驴都知道　　124

5.19　驴解决不了的问题　　127

5.20　倒推法　　129

5.21　与三点等距离的点　　130

第6章　圆的世界　　133

6.1　直线和圆的世界　　133

6.2　神的难题　　136

6.3　圆的四边形化　　138

6.4　圆周角不变定理　　140

6.5　面积　　144

6.6　毕达哥拉斯定理　　148

6.7　长度计算法　　151

6.8　从触觉到视觉　　153

6.9　相似和比例　　156

6.10　相似的条件　　158

6.11　五角星　　162

6.12　五角星的秘密　　164

6.13　有理数普遍存在　　166

6.14　无理数普遍存在　　168

6.15　实数　　169

第7章　复数——最后的乐章　　171

7.1　二次方程　　171

7.2　二次方程的解法　　173

7.3　先天不足的数　　175

7.4　复数　　177

7.5　加法和减法　　179

7.6　乘法和除法　　181

7.7　正多边形　　185

7.8　正五边形　　188

7.9　高斯的发观　　190

7.10　三次方程　　191

7.11　卡尔达诺公式　　193

7.12　数的进化　　197

7.13　四则逆运算　　198

7.14　代数学的基本定理　　200

第8章　数的魔术与科学　　202

8.1　万物都是数　　202

8.2　数的魔术　　204

8.3　恒等式　　205

8.4　恒等式的计算法　　210

8.5　求约数的方法　　211

8.6　公倍数与公约数　　214

8.7　素数　　217

8.8　分解的唯一性　　219

8.9　费马定理　　221

8.10　循环小数　　222

第9章　变化的语言——函数　　224

9.1　变与不变　　224

9.2　变数和函数　　226

9.3　正比例　　229

9.4　鹦鹉的计算方法　　230

9.5　变化的形式　　231

9.6　各种类型的函数　　232

9.7　图表　　234

9.8　函数的图表　　235

9.9　解析几何学　　239

9.10　直线　　240

9.11　相交和结合　　242

9.12　贝祖定理　　244

9.13　圆锥曲线　　246

9.14　二次曲线　　248

第10章　无穷的算术——极限　　251

10.1　运动和无穷　　251

10.2　无穷级数　　253

10.3　无穷悖论　　255

10.4　没有答案的加法　　257

10.5　一种空想的游戏　　259

10.6　柯西的收敛条件　　263

10.7　收敛和加减乘除　　266

10.8　规则的数列　　269

10.9　帕斯卡三角形　　271

10.10　数学归纳法　　273

10.11　高斯分布　　276

10.12　阶差　　277

第11章　伸缩与旋转　　281

11.1　老鼠算　　281

11.2　2倍的故事　　283

11.3　数砂子　　284

11.4　负的指数　　285

11.5　分数的指数　　286

11.6　指数函数　　288

11.7　对数　　290

11.8　连续的复利法　　292

11.9　旋转　　294

11.10　正弦曲线和余弦曲线　　297

11.11　极坐标　　299

11.12　正弦定理和余弦定理　　300

11.13　海伦公式　　302

11.14　永远曲线　　304

11.15　欧拉公式　　306

11.16　加法定理　　308

第12章　分析的方法——微分　　310

12.1　望远镜和显微镜　　310

12.2　思考的显微镜　　311

12.3　微分　　314

12.4　流量和流率　　316

12.5　指数函数的微分　　317

12.6　函数的函数　　322

12.7　反函数　　323

12.8　函数的函数的微分　　325

12.9　内插法　　329

12.10　泰勒级数　　333

12.11　最大最小　　335

12.12　最小原理　　339

第13章　综合的方法——积分　　342

13.1　分析与综合　　342

13.2　德谟克里特方法　　344

13.3　球的表面积?阿基米德方法　　346

13.4　双曲线所围成的面积　　348

13.5　定积分　　351

13.6　卡瓦列里原理　　354

13.7　基本定理　　357

13.8　不定积分　　361

13.9　积分变换　　364

13.10　酒桶的体积　　364

13.11　科学和艺术　　367

13.12　各种各样的地图　　367

13.13　摆线围成的面积　　371

13.14　曲线的长度　　372

第14章　微观世界——微分方程　　375

14.1　逐步解决法　　375

14.2　方向场　　377

14.3　折线法　　379

14.4　落体法则　　381

14.5　线性微分方程　　383

14.6　振动　　386

14.7　衰减振动　　388

14.8　从开普勒到牛顿　　389

14.9　积分定律和微分定律　　393

14.10　拉普拉斯的魔法394

14.11　锁链的曲线395

附录　　399

参考文献　　401

后记　　402

远山启（1909－1979）

1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“磁砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。如《无限与连续》《现代数学对话》《函数论》等。

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离散量要数，连续量要测量。

两个离散量的大小是可以直接进行比较的。对于连续量，在直接比较不方便的地方，就有了间接比较的需要，又由于间接比较的需要，而产生了单位。

把全部的连续量用长度来表示。例如，杆秤就是把重量转换成有刻度的长度的工具，钟表就是把时间转换成表盘的长度(曲线长度)的机械，还有温度计是把温度这一连续量转换成了长度，七尺的速度也是吧速度这一连续量变成曲线的长度。

仔细考虑一下，说量器多半都是把连续量表示成长度的工具，是并不过分的。

数学家把各式各样的量转换成最容易考虑的长度，它就像世界语一样，具有作为连续量的通用语的作用。

用一一对应来替换、分割或改变顺序而不变的东西就是数

如果是使用方便的章纸使埃及的数学停止发展，而不方便的黏土却给巴比伦数学的发展以很好的刺激，这可以说是历史的讽刺吧

埃及人不了解这一规则，竟白费了力气。这件事就文化的进步来说给了我们有益的教训。文化的进步也不是直线前进的，而是走了很多弯路。不仅如此，甚至走进死胡同长时间出不来的事也是有的。阿孟斯的单位分数表，的确可以说是一个死胡同。

书籍介绍

数学是高等智慧生物的共有思维，是对真理的探索，对矛盾的怀疑，但它绝非一门晦涩难懂的学问，非应试目的的数学是纯粹而朴实的智慧。《数学与生活》为日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。

本书既包含了初等数学的基础内容，又包含了微分、积分、微分方程、费马定理、欧拉公式等高等数学的内容。作者运用了多个学科的知识。结合日常生活和东西方各国脍炙人口的故事，用通俗易懂的语言，将数学知识和原理一一呈现，犹如一本有趣的故事集。读者从中不但了解了数学的风貌，而且也能懂得数学与日常生活的密切联系，及其与物理学、化学、天文地理乃至音乐、美术等学科的关联。

愿读者凭借此书发现数学的本原之美，发现美的本原源于数学。